「数学は暗記だ」って、ホント？

0.25と0.3。大きいのはどちらでしょう。

答えは0.3です。ところが、「25は3より大きい」という整数の感覚をそのまま持ちこむと、0.25を選んでしまいます。小数の計算の手順は覚えていても、0.25が何を表す数なのかがつかめていなければ、こういう問題でつまずきます。

受験では「数学は解き方のパターンを覚えればいい」とよく言われます。限られた時間で点を取るには、見た瞬間に解き方が浮かぶほうが有利です。たしかに、覚えなければ始まらない部分はあります。では、覚えるだけで数学の力はつくのでしょうか。

小数を学ぶ子どもたちを追いかける

2001年、心理学者のリトル＝ジョンソン、シーグラー、アリバリの3人は、小学5年生と6年生を対象に、2つの実験を行いました。子どもたちが小数を学んでいく様子を調べたのです。

3人は、数学の知識を2種類に分けて考えました。ひとつは「手順の知識」で、計算をどう進めるかを知っていることです。もうひとつは「概念の理解」で、その数や式が何を意味しているのかがわかっていることです。「数学は暗記だ」という考えは、前者だけを鍛えればよい、という考えだとも言えます。

1つめの実験では、最初の時点で小数の意味をよく理解していた子ほど、そのあと計算の手順が伸びていました。そして、手順が伸びた子は、今度は意味の理解も深まっていました。理解が手順を育て、育った手順がまた理解を深める。2つの知識は、こうして交互に育っていました。

あいだをつないでいたもの

では、理解と手順は何によってつながっているのでしょうか。3人が注目したのは、問題を頭の中でどう描くか、という点でした。最初の理解が手順の伸びにつながるとき、そのあいだには、問題を正しく描けているかどうかが入っていました。

2つめの実験では、この点を確かめるため、問題を正しくとらえるための手助けの量を変えてみました。すると、手助けを多く受けた子どもたちは、手順の力を伸ばしました。

問題の意味が見えていれば、覚えた手順を正しい場面で使えます。意味が見えていなければ、覚えた手順をどこで使えばいいのかがわかりません。冒頭の0.25と0.3は、ちょうどそういう例です。

一方通行ではない

2015年、リトル＝ジョンソンは、シュナイダー、スターとともに、その後に積み重なった研究をまとめました。論文の題名は「一方通行ではない」。手順の知識と概念の理解は、どちらか片方が先に立つのではなく、互いに支え合いながら育つ、という結論です。

ただし、まだわかっていないこともあります。手順と意味のどちらを先に教えるのがよいかは、2つの順番を直接比べた研究が少なく、はっきりしません。「まず理解、暗記はあと」とも、「まず暗記、理解はあと」とも、言い切れないのが今の状態です。

覚えたら、なぜかを一言で

ですから、「数学は暗記だ」は半分だけ当たっています。解き方を覚えることは必要です。足りないのは、覚えた解き方と意味のあいだを行き来する作業のほうです。

原田英語のおすすめは、解き方を1つ覚えるたびに「なぜこうするのか」を一言で言ってみることです。たとえば三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。なぜ2で割るのか。同じ三角形を2つ組み合わせると平行四辺形になり、その半分だから、と言えれば、公式を忘れても自分で作り直せます。

言えなければ、そこが意味の抜けている場所です。答えが合ったあとに、別の解き方がないか考えてみるのもよい練習です。

覚えた手順は、意味とつながったときに、はじめて自分で使える道具になります。