鋭い → 激しい → 熱心な・切望して
eager は、ラテン語の acer「鋭い」が古フランス語の aigre を通って英語に入った語です。aigre は「すっぱい」という意味でした。舌を刺すような鋭い味だからです。中英語の egre も、初めは「激しい」「鋭い」という意味でした。気持ちが鋭くとがって前へ向かうことから、「熱心な」「切望して」へ変わりました。台所の vinegar（酢）も同じ仲間です。フランス語の vin aigre「すっぱいワイン」がそのまま英語になりました。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：be eager to do(〜したくてたまらない)
「エイガー」は目を輝かせて前のめりになる様子。be eager to doでセット記憶
be eager to do（しきりに〜したがる）、be eager for A（Aを切望する）。anxious to do もほぼ同じ意味。
受験ミニ情報 be eager to do と be keen to do の言い換えが頻出。eagerly await A（Aを心待ちにする）も。
言い換え（同じような意味）
eager と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
ラテン語acer(鋭い)に由来し、鋭く尖った意欲・熱意を表すようになった eager は、ラテン語の acer「鋭い」が古フランス語の aigre を通って英語に入った語です。aigre は「すっぱい」という意味でした。
熱心な、切望している（形容詞）。コアイメージは「鋭くとがった気持ち」です。
「エイガー」は目を輝かせて前のめりになる様子。be eager to doでセット記憶 同じ語源の vinegar・acid・acute とまとめて覚えると効率的です。
/ˈiːɡɚ/（イーガー）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。