〜へ＋頭 → 終わりまで来る → 成し遂げる
achieve の元は、古フランス語 achever「終える、仕上げる」です。これは venir a chief「端（頭）まで来る」という言い方から生まれました。chief は「頭」で、ラテン語 caput にさかのぼります。物事の頭、つまり終わりまでたどり着くのが「達成」です。英語に入った14世紀ごろは「終える」の意味でした。同じ chief からは mischief（いたずら）も生まれました。mis- は「悪く」なので、元は「悪い終わり方、災難」という意味でした。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：achieve a goal(目標を達成する)
chief(頭・リーダー)と親戚。「てっぺんまで行く」=達成する
achieve は努力して目標や成功を手に入れる。achieve a goal / success。accomplish も近いが、achieve は困難を越える感じが強い。
受験ミニ情報 目的語は goal・aim・success など。achieve to do とは言わない。chieve の ie のつづりミスも多い。
言い換え（同じような意味）
achieve と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
a(〜へ)+chieve(頭・頂点 ← ラテン語 caput)→ 頭(ゴール)までたどり着く achieve の元は、古フランス語 achever「終える、仕上げる」です。これは venir a chief「端（頭）まで来る」という言い方から生まれました。
達成する、成し遂げる（動詞）。コアイメージは「頭（終点）までたどり着く」です。
chief(頭・リーダー)と親戚。「てっぺんまで行く」=達成する 同じ語源の chief・chef・captain とまとめて覚えると効率的です。
/əˈtʃiːv/（アチーヴ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。
