with O C（C＝V-ing / p.p. / 形容詞 / 前置詞句）O が C の状態で／O を C にして

She fell asleep with the lights on.

彼女は明かりをつけたまま眠ってしまった。

前から訳彼女は眠ってしまった / 明かりがついた状態で

1. Mwith the lights on副詞句｜明かりが・ついている
2. C'on副詞1語が C になる

ここを見るthe lights と on の間に「明かりが・ついている」という関係があります。「明かりと一緒に眠った」ではありません。

The old man sat on the bench with his arms folded, watching the children play soccer.

老人は腕を組んでベンチに座り、子どもたちがサッカーをするのを眺めていた。

前から訳老人は座った / ベンチに / 腕が組まれた状態で / 眺めながら / 子どもたちがサッカーをするのを

1. Mon the bench副詞句
2. Mwith his arms folded副詞句
3. C'folded腕が・組まれる→p.p.
4. Mwatching the children play soccer副詞句｜分詞構文（付帯状況）
5. C'play soccer知覚動詞 watch O V

ここを見るwith his arms folded は「腕が組まれた状態で」、うしろの watching ... は分詞構文で「眺めながら」。同時に起きている2つの様子が、主節の sat に加わっています。

With more and more companies allowing their employees to work from home, many young people are choosing to live in small towns far from the big cities.

社員の在宅勤務を認める会社がますます増えているので、大都市から遠くはなれた小さな町に住むことを選ぶ若者が多くなっている。

前から訳ますます多くの会社が / 社員に家で働くことを認めているので / 多くの若者は選んでいる / 小さな町に住むことを / 大都市から遠い

1. MWith more and more companies allowing their employees to work from home副詞句｜理由「〜なので」
2. C'allowing their employees to work from home会社が・認めている→V-ing
3. Oto live in small towns far from the big cities名詞句

ここを見る文頭の With から home までが1つの副詞のカタマリで、S は many young people です。O の companies が自分で認めているので V-ing になっています。