元へ＋買う → 買い戻す → 取り戻す・償う・引き換える
redeem は、ラテン語の redimere「買い戻す」から来ています。red は re の古い形で、母音の前で使われました。emere は「買う・取る」です。質に入れた物を、お金を払って取り戻すのが元の意味です。キリスト教では、人の罪をあがなって救うことを表しました。今はポイントや商品券を「引き換える」意味でもよく使います。ransom（身代金）も同じ redemptio から古フランス語を通って変わった形です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：redeem oneself(名誉を挽回する)
「質に入れたものを買い戻す」が原義。redeeming feature(唯一の取り柄)も頻出
redeem a coupon（クーポンを引き換える）、redeem oneself（汚名をそそぐ）、redeeming feature（唯一の取り柄）。
受験ミニ情報 名詞 redemption は -deem- が -demp- に変わる（つづり注意）。TOEIC ではポイントの引き換えで出る。
言い換え（同じような意味）
redeem と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
red(再び)+eem(買う ← emere)→ 買い戻す redeem は、ラテン語の redimere「買い戻す」から来ています。red は re の古い形で、母音の前で使われました。
(名誉・信頼を)回復する、償う、換金する（動詞）。コアイメージは「買い戻す」です。
「質に入れたものを買い戻す」が原義。redeeming feature(唯一の取り柄)も頻出 同じ語源の redemption・ransom・exempt とまとめて覚えると効率的です。
/rɪˈdiːm/（リディーム）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。