ゆるんだ → 締まりがない → だらしない・手ぬるい
lax はラテン語 laxus（ゆるんだ）から来ています。英語での最初の意味は「おなかがゆるい」でした。そこから生まれた laxative は「下剤」です。後に、規則や管理が「ゆるい・手ぬるい」という意味が中心になりました。同じ laxus から relax（再びゆるめる→くつろぐ）、release（ゆるめて放す）が生まれました。lease（賃貸する）や leash（犬のひも）も、フランス語を通って入った同じ仲間です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：lax enforcement(緩い取り締まり)
relax(リラックスする)と同語根lax(緩む)。緩みすぎてだらしない
lax security / discipline / rules（ゆるい警備・規律・規則）の形で使う。反対は strict。
受験ミニ情報 lax ⇔ strict / rigorous の対比が出ます。relax・release と同じ lax（ゆるむ）の語としてまとめて覚えます。
言い換え（同じような意味）
lax と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
ラテン語 laxus(緩んだ)から。締まりがなく緩んだ状態 lax はラテン語 laxus（ゆるんだ）から来ています。英語での最初の意味は「おなかがゆるい」でした。
だらしない、緩い（形容詞）。コアイメージは「ひもがゆるんでいる」です。
relax(リラックスする)と同語根lax(緩む)。緩みすぎてだらしない 同じ語源の relax・release・laxative とまとめて覚えると効率的です。
/læks/（ラックス）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。