横たわらせる → 平らに置く → 置く・横たえる・（卵を）産む
lay は古英語 lecgan から来ており、lie（横たわる）の「横たわらせる」版として作られた動詞です。英語には、このように自動詞と、それを「させる」他動詞の組がいくつかあります。sit（座る）と set（据える）、rise（上がる）と raise（上げる）、fall（倒れる）と fell（切り倒す）も同じ関係です。lay は「物を横にして置く」ことで、卵を産むことも lay eggs と言います。「わきに置く」から生まれた lay off（一時解雇する）は、19世紀後半から使われています。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：lay A on B(AをBの上に置く)
lay-laid-laid。「自分が横になる」は lie、「物を置く」は lay
lay（置く）は lay-laid-laid の他動詞。lie（横たわる）は lie-lay-lain の自動詞。lie の過去形が lay なので要注意。
受験ミニ情報 lie / lay の活用と自他の区別は正誤問題の超定番。lay off（解雇する）、lay out（並べる・設計する）も頻出。
言い換え（同じような意味）
lay と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
古英語 lecgan から。lie(横たわる)の使役形「横たえさせる」 lay は古英語 lecgan から来ており、lie（横たわる）の「横たわらせる」版として作られた動詞です。英語には、このように自動詞と、それを「させる」他動詞の組がいくつかあります。
を置く、横たえる（動詞）。コアイメージは「横にして置かせる」です。
lay-laid-laid。「自分が横になる」は lie、「物を置く」は lay 同じ語源の lie・layer・law とまとめて覚えると効率的です。
/leɪ/（レイ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。