あちこちに＋置く＋こと → 自由に配置すること → 処分・自由に使えること
disposal は、dispose に名詞の -al を付けて17世紀前半に生まれた語です。元の意味は「思いどおりに置き分けること」、つまり自由に扱える権限でした。at one's disposal（〜の自由に使える）という言い方に、この意味が残っています。物を思いどおりに扱う最後の形が「捨てる」です。そこから「処分・廃棄」の意味が広まりました。なお dispose の pose は、ラテン語の pausare「止まる」と ponere「置く」が中世にまざり合った形とされています。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：waste disposal(ゴミ処分)
position(位置)と同じpos(置く)が語源。「別の場所に置くこと」から処分の意味に
at one's disposal（自由に使える）と waste disposal（ごみ処理）の2つが二大用法。
受験ミニ情報 I am at your disposal.（何なりとお申しつけください）は会話文で出る。disposable income（可処分所得）も頻出。
言い換え（同じような意味）
disposal と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
dispose(処分する ← dis「離れて」+ ponere「置く」)+ al disposal は、dispose に名詞の -al を付けて17世紀前半に生まれた語です。元の意味は「思いどおりに置き分けること」、つまり自由に扱える権限でした。
処分、廃棄（名詞）。コアイメージは「思いどおりに置き分けること」です。
position(位置)と同じpos(置く)が語源。「別の場所に置くこと」から処分の意味に 同じ語源の dispose・compose・position とまとめて覚えると効率的です。
/dɪˈspoʊzəl/（ディスポウザル）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。
