いっぱいの（full）＋にする → 満たす・埋める
fill と full は、同じ祖先から分かれた語です。ゲルマン祖語の「いっぱいの」*fullaz に、動詞を作る語尾が付きました。すると後ろの音につられて u が変わり、古英語の fyllan になります。food と feed、foot と feet と同じ母音の変わり方です。さらにさかのぼる印欧祖語 *pele- は、ラテン語では plenus「満ちた」になりました。そのため plenty（たっぷり）や complete（完全な）も遠い親戚です。fulfill は full と fill を重ねた形です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：fill A with B(AをBで満たす)
full(満タン)にする動作が fill。「フィル=満る(みちる)」と音でも近い
fill A with B（A を B で満たす）、be filled with 〜（〜でいっぱい）。fill in / fill out は「（用紙に）記入する」。
受験ミニ情報 be filled with＝be full of の書きかえが定番。fill in（英）／fill out（米）は「記入する」で TOEIC 頻出。
言い換え（同じような意味）
fill と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
古英語 fyllan(満たす)から。full(いっぱいの)と同じ語根 fill と full は、同じ祖先から分かれた語です。ゲルマン祖語の「いっぱいの」*fullaz に、動詞を作る語尾が付きました。
満たす、いっぱいにする（動詞）。コアイメージは「いっぱいの状態にする」です。
full(満タン)にする動作が fill。「フィル=満る(みちる)」と音でも近い 同じ語源の full・fulfill・plenty とまとめて覚えると効率的です。
/fɪl/（フィル）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。