神への誓い・願い → 意思の表明 → 投票（する）
vote の元は、ラテン語 votum「神への誓い・願い」です。ローマ人は「願いがかなえば神殿に供え物をします」と神に誓いました。英語に入った15世紀、この語はまずスコットランドの記録に現れます。「願い」から「自分の意思を表すこと」へ、そして「投票」へと意味が移りました。投票の歴史はもっと古く、古代アテネでは陶器のかけらに名前を書いて投票しました。危険な人物を追放するためのこの制度は「陶片追放」と呼ばれます。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：vote for a candidate(候補者に投票する)
『願いごとを票に込める』が原義。vote for 〜=「〜に(賛成)票を入れる」
vote for A（Aに賛成票を入れる）、vote against A（Aに反対票を入れる）。名詞は cast a vote（一票を投じる）。
受験ミニ情報 voter turnout（投票率）、the right to vote（選挙権）は社会系長文の定番。for / against の空所補充も頻出。
言い換え（同じような意味）
vote と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
vot(誓う、願う)→ 自分の願いを表明する → 投票する vote の元は、ラテン語 votum「神への誓い・願い」です。ローマ人は「願いがかなえば神殿に供え物をします」と神に誓いました。
投票する（動詞）。コアイメージは「願いを表に出す」です。
『願いごとを票に込める』が原義。vote for 〜=「〜に(賛成)票を入れる」 同じ語源の vow・devote・devotion とまとめて覚えると効率的です。
/voʊt/（ヴォウト）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。