球＋小さい → 小さな玉 → 投票用紙・投票
ballot は、イタリア語の ballotta「小さな玉」から16世紀に英語に入りました。balla「球」に「小さい」を表す語尾がついた形です。ヴェネツィアなどイタリアの都市では、小さな玉を箱に入れて投票しました。箱の中で玉を落とせば、だれがどちらに入れたかわかりません。秘密投票のしくみです。紙の投票用紙に変わっても、呼び名は ballot のまま残りました。今の secret ballot（無記名投票）にも、玉の時代の名残があります。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：cast a ballot(投票する)
ball(ボール)が語源。昔は白黒の球を箱に入れて投票した
ballot は投票用紙・無記名投票。vote は投票全般、poll は投票所・世論調査。cast a ballot（投票する）がよく出る形。
受験ミニ情報 アクセントは第1音節 BAL-lot。ballot box（投票箱）、ballot paper（投票用紙）は時事英文の頻出語。
言い換え（同じような意味）
イタリア語 ballotta(小さいボール)→ 昔は投票に小さな球を使った ballot は、イタリア語の ballotta「小さな玉」から16世紀に英語に入りました。balla「球」に「小さい」を表す語尾がついた形です。
投票、投票用紙（名詞）。コアイメージは「投票用の小さな玉」です。
ball(ボール)が語源。昔は白黒の球を箱に入れて投票した 同じ語源の ball・balloon・blackball とまとめて覚えると効率的です。
/ˈbælət/（バロット）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。