仕返しする＋こと → 取り返すこと → 復讐
vengeance の元は、ラテン語 vindicare です。ローマの法廷では、この語は「自分の物だと名乗り出て取り戻す」ことを表しました。奪われた物を取り返すことから、「罰する」「仕返しする」へと意味が進みます。フランス語では長い間に vindicare が縮まり、vengier という形になりました。英語の vengeance は13世紀の終わりに入りました。with a vengeance は「仕返しに」ではなく、「猛烈に・とことん」の意味の熟語です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：take vengeance on A(Aに復讐する)
revenge と兄弟。veng＝やり返す
take vengeance on A（Aに復讐する）が基本。with a vengeance（猛烈に）は意味の取りちがえが多い熟語です。
受験ミニ情報 The rain came back with a vengeance.（雨がまた猛烈に降り出した）のような熟語の意味問題が出る。
言い換え（同じような意味）
vengeance と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
veng(仕返しする)+eance(こと)→仕返し vengeance の元は、ラテン語 vindicare です。ローマの法廷では、この語は「自分の物だと名乗り出て取り戻す」ことを表しました。
復讐、仕返し、（with a vengeance で）猛烈に（名詞）。コアイメージは「やられた分を取り返す」です。
revenge と兄弟。veng＝やり返す 同じ語源の revenge・avenge・vindicate とまとめて覚えると効率的です。
/ˈvendʒəns/（ヴェンジェンス）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。