静かな → 義務から自由な → 手放す → やめる
quit は13世紀に「自由にする・無罪とする」の意味で英語に入りました。元はラテン語の quietus「静かな」です。借金も罪もなくなれば、人は静かに休めます。中世ラテン語では quitus が「義務から自由な」の意味になりました。英語の acquit「無罪にする」も同じ流れの語です。「（仕事などを）やめる」の意味が出てきたのは17世紀ごろです。call it quits「おあいこにする・もうやめにする」にも、「貸し借りなし」の元の意味が残っています。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：quit doing(〜するのをやめる)
quiet(静かな)と同源。「仕事を手放して静かになる→やめる」。目的語は動名詞:quit doing
quit doing（〜するのをやめる）。quit to do だと「〜するために辞める」の意味。過去形・過去分詞は米で quit、英で quitted も使われる。
受験ミニ情報 quit は stop・give up と同じく後ろに動名詞。quit smoking = give up smoking は英作文の定番。
言い換え（同じような意味）
quit と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
ラテン語 quietus(解放された・静かな)→ 義務から解放される → やめる quit は13世紀に「自由にする・無罪とする」の意味で英語に入りました。元はラテン語の quietus「静かな」です。
をやめる、辞める（動詞）。コアイメージは「抱えていたものから自由になる」です。
quiet(静かな)と同源。「仕事を手放して静かになる→やめる」。目的語は動名詞:quit doing 同じ語源の acquit・quite・quiet とまとめて覚えると効率的です。
/kwɪt/（クウィット）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。