前へ＋追う → 追いかける → 追求する・続ける
pursue は、アングロ＝ノルマン語 pursuer「追う」から来ています。元はラテン語 prosequi「追いかける」で、pro は「前へ」、sequi は「後を追う」です。同じ prosequi からは prosecute（起訴する）も生まれています。片方はフランス語を通って形が崩れ、もう片方はラテン語に近い形のまま入った、という関係です。アメリカ独立宣言には、人が生まれながらに持つ権利として the pursuit of Happiness（幸福の追求）が挙げられています。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：pursue a career(キャリアを追求する)
sequence(連続=次々と続く)と同じsequ=追う・続く。「夢を前へ前へと追う」イメージ。
pursue a career（職業の道を進む）、pursue a dream（夢を追う）、pursue a policy（政策を推し進める）。他動詞で前置詞は不要。
受験ミニ情報 pursue は他動詞なので pursue after A としない。アクセントは第2音節 pur-SUE。seek・follow への言い換えが多い。
言い換え（同じような意味）
pursue と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
pur(前へ ← pro)+sue(追う ← sequi)→ 前を追い続ける → 追求する pursue は、アングロ＝ノルマン語 pursuer「追う」から来ています。元はラテン語 prosequi「追いかける」で、pro は「前へ」、sequi は「後を追う」です。
を追求する、追いかける、(職業など)に従事する（動詞）。コアイメージは「前を行くものを追い続ける」です。
sequence(連続=次々と続く)と同じsequ=追う・続く。「夢を前へ前へと追う」イメージ。 同じ語源の pursuit・prosecute・sequence とまとめて覚えると効率的です。
/pɚˈsuː/（パースー）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。