与える → 差し出す → （結果を）もたらす
give は古英語 giefan「与える」から来ています。古英語のこの g は「ヤ」行に近い音で、中英語では yiven のような形も使われました。14世紀のチョーサーも yeve と書いています。今の硬い g は、古ノルド語 gefa の影響で広まったとされます。forgive は、for「すっかり」と give を組み合わせた語です。ラテン語 perdonare「すっかり与える」をまねたとする説が有力です。この perdonare から来たのが、フランス語 pardonner と英語の pardon です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：give A to B(AをBに与える)
「ギブアンドテイク」の give。gift(ギフト=贈り物)と同じ仲間
give A B＝give B to A。give up（あきらめる）、give in（屈する）、give off（発する）、give way（譲る・崩れる）。
受験ミニ情報 given (that) 〜（〜を考えると）は空所補充で頻出。give up doing（動名詞）も定番。
言い換え（同じような意味）
give と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
古英語giefan(与える)から。gift(贈り物)と同じ家族 give は古英語 giefan「与える」から来ています。古英語のこの g は「ヤ」行に近い音で、中英語では yiven のような形も使われました。
与える、あげる（動詞）。コアイメージは「相手に差し出す」です。
「ギブアンドテイク」の give。gift(ギフト=贈り物)と同じ仲間 同じ語源の gift・forgive・given とまとめて覚えると効率的です。
/ɡɪv/（ギヴ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。