ゲルマン祖語 *dagaz（日）→ 古英語 dæg → 日・昼
day は、古英語 dæg から来ています。ラテン語の dies「日」に似ていますが、別の祖先を持つ語です。dies からは、diary（日記）や journal が生まれました。一方の dæg は、ゲルマン語だけに伝わった語です。古英語の g は、e や æ の後ろでは「イ」に近い音で読まれました。そのため dæg は「ダイ」に近い音で、やがて day のつづりになりました。ドイツ語では今も g が残り、Tag と言います。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：every day(毎日)
「バースデイ(birthday)」「ホリデイ(holiday)」のデイ=日
one day（ある日〈過去〉・いつか〈未来〉）、some day（いつか〈未来〉）、the other day（先日）、these days（近ごろ）。
受験ミニ情報 the other day（先日）は過去形と、these days（近ごろ）は現在形と使う。時制の正誤問題の定番。
言い換え（同じような意味）
day と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
ゲルマン祖語 *dagaz（日）→ 古英語 dæg → 日・昼 day は、古英語 dæg から来ています。ラテン語の dies「日」に似ていますが、別の祖先を持つ語です。
日、1日（名詞）。コアイメージは「明るい間・1日」です。
「バースデイ(birthday)」「ホリデイ(holiday)」のデイ=日 同じ語源の daily・dawn・today とまとめて覚えると効率的です。
/deɪ/（デイ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。