腕を通す部分 → そで → 筒状のカバー
sleeve は古英語 slīefe から続く語です。腕を「するりと通す」ことから、slip「滑る」に近い語とつながるとする説があります。昔の衣服はそでが大きく、小物を入れるポケット代わりにもなりました。have something up one's sleeve「そでに隠し持つ」が「奥の手がある」になったのは、この習慣からとされます。wear one's heart on one's sleeve は「感情を隠さない」です。レコードを入れる紙の袋も sleeve と言います。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：roll up one's sleeves(そでをまくる)
long-sleeved shirt(長袖のシャツ)のように服の説明で頻出。roll up one's sleeves=「そでをまくる」
roll up one's sleeves（本腰を入れる）、long-sleeved（長そでの）、short-sleeved（半そでの）。
受験ミニ情報 have an ace up one's sleeve（奥の手を持っている）はイディオム問題で出る。
言い換え（同じような意味）
腕を通す部分 → そで → 筒状のカバー sleeve は古英語 slīefe から続く語です。腕を「するりと通す」ことから、slip「滑る」に近い語とつながるとする説があります。
そで（名詞）。コアイメージは「腕をするりと通す筒」です。
long-sleeved shirt(長袖のシャツ)のように服の説明で頻出。roll up one's sleeves=「そでをまくる」 同じ語源の sleeveless・shirt-sleeve・slip とまとめて覚えると効率的です。
/sliːv/（スリーヴ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。