小さな車輪 → 巻物 → せりふの巻紙 → 役
ラテン語の rota は「車輪」です。小さくした形の rotulus は、くるくる巻いた紙、つまり巻物を指すようになりました。フランスの芝居では、役者のせりふが巻いた紙に書かれていました。その巻紙 rôle が、やがて「役」そのものを表すようになります。英語に入ったのは17世紀の初めです。control「管理する」も同じ家族で、元は帳簿と照らし合わせるための控えの巻物（ラテン語 contrarotulus）でした。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：play a role in A(Aで役割を果たす)
役者の「台本の巻物」が語源。play a role in A(Aで役割を果たす)は長文・英作文の万能フレーズ
play a role in 〜 は「〜で役割を果たす」。重要なら play a key role。
受験ミニ情報 role は [roʊl] で roll と同音。play the role of 人 は「人の役を演じる」。
言い換え（同じような意味）
role と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
ラテン語 rotulus(巻物 ← rota「車輪」)→ 役者がセリフを書いた巻物 → 役割 ラテン語の rota は「車輪」です。小さくした形の rotulus は、くるくる巻いた紙、つまり巻物を指すようになりました。
役割、役（名詞）。コアイメージは「演じるための役割」です。
役者の「台本の巻物」が語源。play a role in A(Aで役割を果たす)は長文・英作文の万能フレーズ 同じ語源の roll・control・rotate とまとめて覚えると効率的です。
/roʊl/（ロウル）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。