小屋 → 小屋に泊まる・泊める → 置く・提出する
lodge は古フランス語の loge「小屋・あずまや」から来ました。さらにさかのぼると、ゲルマン系のフランク語 *laubja「屋根のある場所」に行き着きます。葉で屋根をふいた小屋を表したとする説があります。名詞の「小屋」から、動詞の「泊まる・泊める」が生まれました。人を泊めるように、物をある場所に「置く」意味にも広がります。そこから lodge a complaint「苦情を申し立てる」の「提出する」が出てきました。ホテルの lobby（ロビー）も、同じ中世ラテン語 laubia から来た兄弟です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：lodge a complaint(苦情を申し立てる)
山小屋(lodge)に泊まる→書類を「収める」イメージにも拡張
lodge a complaint / protest（苦情・抗議を申し立てる）は硬い文で頻出。be lodged in（〜に刺さる・はさまる）も覚える。
受験ミニ情報 lodge a complaint＝file a complaint の言い換えが英検準1級の語彙問題で狙われる。名詞 lodging は「宿」。
言い換え（同じような意味）
小屋 → 小屋に泊まる・泊める → 置く・提出する lodge は古フランス語の loge「小屋・あずまや」から来ました。さらにさかのぼると、ゲルマン系のフランク語 *laubja「屋根のある場所」に行き着きます。
を提出する、を宿泊させる（動詞）。コアイメージは「仮の小屋に身を置く」です。
山小屋(lodge)に泊まる→書類を「収める」イメージにも拡張 同じ語源の lobby・loggia・lodging とまとめて覚えると効率的です。
/lɑːdʒ/（ロッジ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。