放す → 引き止めない → 〜させる
let には、意味が正反対の「もう1つの let」があります。ふつうの let は、古英語 lǣtan「放す、許す」から来ました。ところが古英語にはもう1つ、lettan「妨げる、遅らせる」という動詞がありました。こちらは late（遅い）から作られた動詞です。2語は中英語で同じ形になり、反対の意味が並びました。テニスの「レット」は、この「妨げ」の let です。イギリスのパスポートには without let or hindrance（妨げなく）という古い言い回しが残っています。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：Let's do(〜しよう)
「レッツゴー(Let's go=行こう)」の let。Let's は Let us の短縮形
let O 原形（Oに〜させる）は許可、make O 原形 は強制。let O to do は誤り。
受験ミニ情報 let は受動態にしにくく、be allowed to do で言い換える。活用は let-let-let。let O to do の誤りが正誤問題で出る。
言い換え（同じような意味）
let と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
古英語lǣtan(許す・放す)から。「引き止めずに行かせる」が原義 let には、意味が正反対の「もう1つの let」があります。ふつうの let は、古英語 lǣtan「放す、許す」から来ました。
〜させる、許す（動詞）。コアイメージは「引き止めずに放っておく」です。
「レッツゴー(Let's go=行こう)」の let。Let's は Let us の短縮形 同じ語源の late・lassitude・outlet とまとめて覚えると効率的です。
/let/（レット）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。