長の＋宿舎 → 指揮官の宿営 → 本部・本社
headquarters は、17世紀の軍隊のことばです。quarter は元はラテン語 quartarius「4分の1」で、そこから「町の一区画」の意味が生まれました。パリの Latin Quarter（カルチェ・ラタン）がその例です。さらに軍隊では、兵士に割り当てた宿営の場所を quarters と呼びました。その中で、指揮官の宿営が headquarters です。19世紀以降は、会社や団体の本部にも広く使われます。形は複数ですが、単数扱いにも複数扱いにもなります。略すと HQ です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：be headquartered in A(Aに本社を置く)
quarter（4分の1→区画→宿舎）。長の宿舎＝headquarters。
be headquartered in A（Aに本社を置く）は TOEIC 頻出。単数・複数どちらの動詞でも受けられる。
受験ミニ情報 -s を落として headquarter とは言わないのが原則（動詞 be headquartered は別）。
言い換え（同じような意味）
headquarters と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
head(長)+quarters(宿舎・区画)→指揮官の宿営→本部・本社 headquarters は、17世紀の軍隊のことばです。quarter は元はラテン語 quartarius「4分の1」で、そこから「町の一区画」の意味が生まれました。
本部、本社、司令部（名詞）。コアイメージは「指揮官のいる宿営」です。
quarter（4分の1→区画→宿舎）。長の宿舎＝headquarters。 同じ語源の quarter・quartet・quart とまとめて覚えると効率的です。
/ˈhedˌkwɔːrtɚz/（ヘッドクォーターズ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。