冷たさ → 寒気 → 冷やす・（頭を冷やして）くつろぐ
chill は、古英語の ciele「寒さ」から来ています。祖先は印欧祖語の *gel-「冷たい・凍る」です。同じ祖先から、英語の cold と cool も生まれました。ラテン語では gelu「霜」となり、そこから jelly（ゼリー）や gelatin（ゼラチン）ができます。冷やすと固まるからです。chill out「落ち着く・くつろぐ」は、20世紀後半のアメリカの若者言葉です。頭を冷やす、という発想から来ています。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：feel a chill(寒気を感じる)
「チル(まったりする)」の語でおなじみ。冷たい風に当たってのんびりするイメージ
a chill（寒気）、catch a chill（かぜをひく）、send a chill down one's spine（ぞっとさせる）。動詞は「冷やす」。
受験ミニ情報 chilling（ぞっとする）と chilly（肌寒い）の区別が語彙問題に出る。chill out は relax の言い換え。
言い換え（同じような意味）
chill と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
古英語cele/ciele(冷たさ)に由来する固有の語 chill は、古英語の ciele「寒さ」から来ています。祖先は印欧祖語の *gel-「冷たい・凍る」です。
寒さ、ひんやりした感じ（名詞）。コアイメージは「身にしみる冷たさ」です。
「チル(まったりする)」の語でおなじみ。冷たい風に当たってのんびりするイメージ 同じ語源の cold・cool・jelly とまとめて覚えると効率的です。
/tʃɪl/（チル）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。