まごつかせる → 気をわずらわせる → 悩ませる
bother が記録に現れるのは18世紀初めです。最初に使ったのは、スウィフトやスターンなどアイルランド生まれの作家たちでした。そのため、アイルランド語の bodhar「耳が聞こえない、うろたえた」から来たとする説が有力です。はじめの意味は「まごつかせる」でした。やがて「気をわずらわせる」「うるさく悩ませる」へ変わります。否定の形で使う「わざわざ〜しない」の意味も生まれました。Don't bother.（わざわざいいよ）は今の会話の定番です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：don't bother to do(わざわざ〜するには及ばない)
「ボザー、ボザー」とうるさく付きまとうイメージ。Sorry to bother you(お邪魔してすみません)は会話の定番フレーズ
Sorry to bother you.（お邪魔してすみません）。don't bother to do / doing（わざわざ〜しなくていい）の両方の形をとる。
受験ミニ情報 I can't be bothered to do（〜する気になれない）は口語で重要。bother A with B（BのことでAを煩わせる）も語法問題に出る。
言い換え（同じような意味）
まごつかせる → 気をわずらわせる → 悩ませる bother が記録に現れるのは18世紀初めです。最初に使ったのは、スウィフトやスターンなどアイルランド生まれの作家たちでした。
悩ませる、邪魔をする;わざわざ〜する（動詞）。コアイメージは「気をわずらわせる」です。
「ボザー、ボザー」とうるさく付きまとうイメージ。Sorry to bother you(お邪魔してすみません)は会話の定番フレーズ 同じ語源の bothersome・bothered・unbothered とまとめて覚えると効率的です。
/ˈbɑːðɚ/（バザー）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。