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数学の未解決問題5選：中高生でも読めるのに、世界中の天才が解けない問題たち

マジか度!?!?!?!?!?

2026.10.02⏱ 4分で読める

出典5件

English Corner（A2〜B2・4択クイズ）

読む前に予想してみよう！

「2より大きい偶数は2つの素数の和で表せる」という予想は、すでに証明されている

研究カード（どんな研究？）

対象: 数学の予想
規模: 数十年〜数百年の研究
研究の種類: 数学的証明・計算機による検証
確かさ: ★★★★★

3秒でわかる

コラッツ予想、双子素数予想、ゴールドバッハ予想、リーマン予想、P≠NP予想。問題文は中高生でも読めるのに、何十年〜何百年も解けていない。

ひとことで言うとルールはかんたんなのに、だれも証明できない数学の問題がある！

未解決問題①：コラッツ予想「どんな数も最後は1になる？」
未解決問題②：双子素数予想「差が2の素数ペアは無限にある？」
未解決問題③：ゴールドバッハ予想「偶数は2つの素数の和？」
未解決問題④⑤：賞金100万ドルのリーマン予想とP≠NP予想
まとめ

数学の未解決問題というと、難しい記号だらけの世界を想像するかもしれません。でも実は、問題文だけなら中高生でも雰囲気はつかめるのに、世界中の天才が何十年、何百年かけても解けていない問題がたくさんあります。

この記事では、そんな数学の未解決問題から、中高生でもわかる5つを選びました。コラッツ予想、双子素数予想、ゴールドバッハ予想、リーマン予想、P≠NP予想です。そして、それぞれに「ここまでは分かった！」というマジか!?な最新の進展があります。

01未解決問題①：コラッツ予想「どんな数も最後は1になる？」

ルールはたった2つ。

偶数なら 2で割る
奇数なら 3倍して1を足す

たとえば6から始めると、6→3→10→5→16→8→4→2→1。27から始めると、なんと100回以上も上がったり下がったりして、最後に1にたどり着きます。

「どんな正の整数から始めても、必ず1にたどり着く」――これがコラッツ予想です。コンピューターでは、天文学的に大きな数まですべて1になることが確かめられています。それでも、「すべての数で」成り立つ証明はありません。

02未解決問題②：双子素数予想「差が2の素数ペアは無限にある？」

3と5、11と13、17と19のように、差が2の素数のペアを双子素数と呼びます。数が大きくなるほど素数はまばらになりますが、それでも双子素数は無限にあると予想されています。

2013年、当時ほぼ無名だった数学者の張益唐（ジャン・イータン）が、「差が7000万以下の素数のペアは無限にある」ことを証明し、世界を驚かせました。2より大きいとはいえ、「有限の差」で無限個あると示したのは史上初。その後、英国のメイナードらの新しい方法や、世界中の数学者がネット上で協力したプロジェクトによって、この差は246まで縮められています。ゴールの「2」まで、あと一歩……ですが、その一歩がとてつもなく遠いのです。

03未解決問題③：ゴールドバッハ予想「偶数は2つの素数の和？」

4=2+2、6=3+3、8=3+5、10=5+5（3+7でも）……。2より大きい偶数は、すべて2つの素数の和で表せるというのがゴールドバッハ予想です。1742年の手紙に由来する、約280年もの歴史がある問題です。

2013年に発表された計算では、4×10の18乗（400京）まですべての偶数で成り立つことが確かめられました。それでも、証明はまだありません。

04未解決問題④⑤：賞金100万ドルのリーマン予想とP≠NP予想

米国のクレイ数学研究所は2000年、7つの難問にそれぞれ100万ドルの賞金をかけました（ミレニアム懸賞問題）。そのうち解決されたのは、ペレルマンが証明したポアンカレ予想だけです。

リーマン予想：素数がどのように散らばっているかの「設計図」に関わる予想。160年以上解けていません。
P≠NP予想：「答えを確かめるのはかんたんだが、答えを見つけるのは難しい問題」は本当に存在するか。たとえば巨大な数独は、答えの確認はすぐできても、解くのは大変です。もし「確認できる問題は、いつでも速く解ける」とわかれば、インターネットの暗号の安全性にも大きな影響が出ます。

05まとめ

数学の未解決問題には、「問題は中学生でもわかるのに、答えは誰も知らない」ものがある。そして、張益唐やタオのように、「完全には解けなくても、ここまでは言える」という進歩が、少しずつゴールに近づけています。

まずはコラッツ予想を、好きな数で試してみてください。1にたどり着くまでの道のりの不思議さに、きっとハマるはずです。

この研究を英語で読もう原田英語の English CornerSome famous math problems are easy enough for young students to understand, but nobody has solved them…

音声

4択クイズ9問A2・B1・B2タップして開く

原田英語の English Corner

この研究を英語で読もう

Some famous math problems are easy enough for young students to understand, but nobody has solved them after decades or even centuries. The Collatz conjecture says that if you halve even numbers and triple odd numbers and add one, you will always reach 1. The twin prime conjecture says that there are infinitely many pairs of prime numbers that differ by 2, such as 11 and 13.

The Goldbach conjecture says that every even number greater than 2 is the sum of two primes. Computers have checked it up to a four followed by eighteen zeros. But checking many examples is not the same as a proof. Mathematicians are making progress, though. In 2013, Yitang Zhang proved that infinitely many prime pairs differ by at most 70 million.

128 words ・ CEFR B1

和訳を見る

有名な数学の問題の中には、幼い生徒でも理解できるほどやさしいのに、何十年、何百年たっても誰にも解けていないものがあります。コラッツ予想は、偶数なら半分にし、奇数なら3倍して1を足すと、必ず1にたどり着くというものです。双子素数予想は、11と13のように差が2の素数のペアは無限にあるというものです。

ゴールドバッハ予想は、2より大きい偶数はすべて2つの素数の和になるというものです。コンピューターは、4のあとに0が18個続く数までこれを確かめました。しかし、たくさんの例を確かめることは証明と同じではありません。それでも、数学者たちは前に進んでいます。2013年、張益唐（ジャン・イータン）は、差が7000万以下の素数のペアが無限にあることを証明しました。

4択リーディングクイズ

Q1. What is the main idea of the passage?

Q2. Which pair is an example of twin primes?

Q3. Why is the Goldbach conjecture still unsolved even though it has been checked up to a huge number?

Take any positive whole number. If it is even, halve it. If it is odd, triple it and add one. The Collatz conjecture says that repeating these steps always leads to 1, and nobody has proved it. In a 2022 paper, Terence Tao proved that almost all starting numbers eventually fall to arbitrarily small values. That is a major result, yet it stops short of the full conjecture.

The twin prime conjecture says there are infinitely many pairs of primes that differ by 2. In 2013, Yitang Zhang, then little known, proved that infinitely many pairs differ by at most 70 million, and later work by James Maynard and an online collaboration cut the bound to 246.

The Goldbach conjecture, from a 1742 letter, holds that every even number greater than 2 is the sum of two primes. It has been checked up to a four followed by eighteen zeros. Computer checks only rule out counterexamples among the numbers tested, and in number theory a first counterexample can be enormous. The Riemann hypothesis and P versus NP each carry a one-million-dollar prize, and solving the second could affect the security of internet encryption.

193 words ・ CEFR B2

和訳を見る

正の整数を1つ選んでください。偶数なら半分にします。奇数なら3倍して1を足します。コラッツ予想は、この手順をくり返すと必ず1にたどり着くと主張しますが、まだ誰も証明していません。2022年の論文で、テレンス・タオは、ほとんどすべての出発点の数が最終的にいくらでも小さな値まで下がることを証明しました。これは大きな成果ですが、予想そのものには届いていません。

双子素数予想は、差が2の素数のペアが無限にあると主張します。2013年、当時ほぼ無名だった張益唐は、差が7000万以下のペアが無限にあることを証明し、その後ジェームズ・メイナードの研究とネット上の共同研究によって、この上限は246まで縮められました。

1742年の手紙に由来するゴールドバッハ予想は、2より大きい偶数はすべて2つの素数の和だとするものです。これは4のあとに0が18個続く数まで確かめられています。コンピューターによる確認で反例がないと分かるのは調べた数の範囲だけであり、数論では最初の反例がとてつもなく大きいこともあります。リーマン予想とP対NP問題にはそれぞれ100万ドルの賞金がかけられており、後者を解けばインターネットの暗号の安全性に影響が出るかもしれません。

4択リーディングクイズ

Q1. What is the passage mainly about?

Q2. What did Zhang prove in 2013?

Q3. Why does the author mention that a first counterexample can be enormous?

重要単語

conjectureC1
名詞予想（まだ証明されていない主張）The Collatz conjecture is still unsolved. con-（ともに）＋ject（投げる）。証明されると theorem（定理）になる。hypothesis（仮説）と並ぶ学術語。
prime numberB1
名詞（句）素数7 is a prime number. prime は「第一の・主要な」。prime minister（首相）の prime と同じ。even（偶数）、odd（奇数）も入試で出る。
proofB2
名詞証明Nobody has found a proof yet. 動詞は prove。waterproof（防水の）の -proof は「〜を防ぐ」で、同じ語から来ている。
verifyB2
動詞確かめる、検証するComputers verified the rule for huge numbers. ラテン語 verus（真実の）から。very も同語源。名詞 verification。check より硬い語。
unsolvedB1
形容詞未解決のMany unsolved problems look simple. un-（否定）＋solve（解く）の過去分詞。an unsolved mystery「未解決の謎」。
infiniteB2
形容詞無限のThere may be an infinite number of twin primes. in-（否定）＋finite（有限の）。発音は /ˈɪnfɪnət/（インフィニット）で、finite /ˈfaɪnaɪt/ とずれる点に注意。副詞 infinitely。

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「偶数なら半分、奇数なら3倍して1を足す」。これをくり返すと必ず1になる？小学生でも試せるこの問題、コンピューターで天文学的に大きな数まで確かめても、いまだに誰も証明できていない。

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※本記事は上記の研究・公開資料をもとに、原田英語が独自の言葉で解説したものです。引用は著作権法第32条の範囲で行い、出典を明記しています。画像はすべてオリジナルのイメージです。研究結果には限界や個人差があります。誤りのご指摘は原田英語のお問い合わせフォームから。

#数学の未解決問題 #コラッツ予想 #素数 #ミレニアム懸賞問題

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数学の未解決問題5選：中高生でも読めるのに、世界中の天才が解けない問題たち

CEFR
A2

Name: ______________________　Date: ____ / ____　Score: ____ / 3

Read the passage.

Some math problems are easy to understand, but nobody can solve them. Here is one. Pick any number. If it is even, divide it by 2.

If it is odd, multiply it by 3 and add 1. Do this again and again. Many people think you always reach 1.

Computers have checked very large numbers, but no one has proved it for every number. This is called the Collatz conjecture.

Choose the best answer.

1. What is the passage mainly about?

How to use a calculator
Why math is boring
How to win a math contest
A math problem that is simple to understand but still unsolved

2. If a number is odd, what do you do?

Multiply it by 3 and add 1.
Divide it by 2.
Add 2 to it.
Multiply it by 2.

3. In the passage, "proved" means ...

forgot
showed that it is true
wrote quickly
asked a question about

Key words

conjecture	名詞	________________
prime number	名詞（句）	________________
proof	名詞	________________
verify	動詞	________________
unsolved	形容詞	________________
infinite	形容詞	________________

https://haradaeigo.com/majika/study-math-unsolved-problems/

Answer Key ・解答と解説

数学の未解決問題5選：中高生でも読めるのに、世界中の天才が解けない問題たち

CEFR
A2

解答・解説

1. D　ルールはかんたんなのに誰も証明できていない問題（コラッツ予想）の紹介なので D。

2. A　If it is odd, multiply it by 3 and add 1. とあるので A。2で割るのは偶数のとき。

3. B　prove は「証明する」。no one has proved it は「それが正しいと示した人はいない」なので B。

全訳

数学の問題の中には、理解するのはかんたんなのに、誰も解けないものがあります。その一つを紹介しましょう。好きな数を選びます。偶数なら2で割ります。

奇数なら3倍して1を足します。これを何度もくり返します。必ず1にたどり着くと多くの人が考えています。

コンピューターでとても大きな数まで確かめられていますが、すべての数で成り立つと証明した人はいません。これはコラッツ予想と呼ばれています。

重要単語

conjecture	予想（まだ証明されていない主張）	con-（ともに）＋ject（投げる）。証明されると theorem（定理）になる。hypothesis（仮説）と並ぶ学術語。
prime number	素数	prime は「第一の・主要な」。prime minister（首相）の prime と同じ。even（偶数）、odd（奇数）も入試で出る。
proof	証明	動詞は prove。waterproof（防水の）の -proof は「〜を防ぐ」で、同じ語から来ている。
verify	確かめる、検証する	ラテン語 verus（真実の）から。very も同語源。名詞 verification。check より硬い語。
unsolved	未解決の	un-（否定）＋solve（解く）の過去分詞。an unsolved mystery「未解決の謎」。
infinite	無限の	in-（否定）＋finite（有限の）。発音は /ˈɪnfɪnət/（インフィニット）で、finite /ˈfaɪnaɪt/ とずれる点に注意。副詞 infinitely。

出典：本文記事の参考文献を参照／原田英語のマジカ!?サイエンス https://haradaeigo.com/majika/study-math-unsolved-problems/

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数学の未解決問題5選：中高生でも読めるのに、世界中の天才が解けない問題たち

CEFR
B1

Name: ______________________　Date: ____ / ____　Score: ____ / 3

Read the passage.

Choose the best answer.

1. What is the main idea of the passage?

Computers have solved all the famous math problems.
Some simple-looking math problems remain unsolved, though progress is being made.
Prime numbers are easy to find.
Only professional mathematicians can understand these problems.

2. Which pair is an example of twin primes?

2 and 4
9 and 11
11 and 13
13 and 19

3. Why is the Goldbach conjecture still unsolved even though it has been checked up to a huge number?

Because checking examples is not the same as proving it for all numbers
Because the computers made many mistakes
Because no one has checked it at all
Because it is false for small numbers

Key words

conjecture	名詞	________________
prime number	名詞（句）	________________
proof	名詞	________________
verify	動詞	________________
unsolved	形容詞	________________
infinite	形容詞	________________

https://haradaeigo.com/majika/study-math-unsolved-problems/

Answer Key ・解答と解説

数学の未解決問題5選：中高生でも読めるのに、世界中の天才が解けない問題たち

CEFR
B1

解答・解説

1. B　かんたんに見える問題が未解決のままだが、Mathematicians are making progress とあるので B。D は「幼い生徒でも理解できる」と矛盾する。

2. C　差が2の素数のペアで、本文に such as 11 and 13 とあるので C。9は素数ではない。

3. A　checking many examples is not the same as a proof とあるので A。

全訳

重要単語

conjecture	予想（まだ証明されていない主張）	con-（ともに）＋ject（投げる）。証明されると theorem（定理）になる。hypothesis（仮説）と並ぶ学術語。
prime number	素数	prime は「第一の・主要な」。prime minister（首相）の prime と同じ。even（偶数）、odd（奇数）も入試で出る。
proof	証明	動詞は prove。waterproof（防水の）の -proof は「〜を防ぐ」で、同じ語から来ている。
verify	確かめる、検証する	ラテン語 verus（真実の）から。very も同語源。名詞 verification。check より硬い語。
unsolved	未解決の	un-（否定）＋solve（解く）の過去分詞。an unsolved mystery「未解決の謎」。
infinite	無限の	in-（否定）＋finite（有限の）。発音は /ˈɪnfɪnət/（インフィニット）で、finite /ˈfaɪnaɪt/ とずれる点に注意。副詞 infinitely。

出典：本文記事の参考文献を参照／原田英語のマジカ!?サイエンス https://haradaeigo.com/majika/study-math-unsolved-problems/

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数学の未解決問題5選：中高生でも読めるのに、世界中の天才が解けない問題たち

CEFR
B2

Name: ______________________　Date: ____ / ____　Score: ____ / 3

Read the passage.

Choose the best answer.

1. What is the passage mainly about?

How Terence Tao completely solved the Collatz conjecture
Why prizes are offered for math problems
How internet encryption works
Simple-looking unsolved problems and the partial progress made on them

2. What did Zhang prove in 2013?

There are exactly 246 twin primes.
Infinitely many prime pairs differ by at most 70 million.
Every even number is the sum of two primes.
The Collatz conjecture is false.

3. Why does the author mention that a first counterexample can be enormous?

To show that computers are too slow
To prove that the Goldbach conjecture is false
To explain why checking many cases is not a proof
To praise Maynard's new methods

Key words

conjecture	名詞	________________
prime number	名詞（句）	________________
proof	名詞	________________
verify	動詞	________________
unsolved	形容詞	________________
infinite	形容詞	________________

https://haradaeigo.com/majika/study-math-unsolved-problems/

Answer Key ・解答と解説

数学の未解決問題5選：中高生でも読めるのに、世界中の天才が解けない問題たち

CEFR
B2

解答・解説

1. D　手順をかんたんに説明できる未解決問題と、それぞれの部分的な進展を紹介しているので D。タオの結果は stops short of the full conjecture なので A は誤り。

2. B　proved that infinitely many pairs differ by at most 70 million とあるので B。246 はその後に縮められた上限。

3. C　Computer checks only rule out counterexamples among the numbers tested とあり、反例がとても大きな数で初めて現れることもあるので、多くの例を確かめても証明にはならない。よって C。

全訳

重要単語

conjecture	予想（まだ証明されていない主張）	con-（ともに）＋ject（投げる）。証明されると theorem（定理）になる。hypothesis（仮説）と並ぶ学術語。
prime number	素数	prime は「第一の・主要な」。prime minister（首相）の prime と同じ。even（偶数）、odd（奇数）も入試で出る。
proof	証明	動詞は prove。waterproof（防水の）の -proof は「〜を防ぐ」で、同じ語から来ている。
verify	確かめる、検証する	ラテン語 verus（真実の）から。very も同語源。名詞 verification。check より硬い語。
unsolved	未解決の	un-（否定）＋solve（解く）の過去分詞。an unsolved mystery「未解決の謎」。
infinite	無限の	in-（否定）＋finite（有限の）。発音は /ˈɪnfɪnət/（インフィニット）で、finite /ˈfaɪnaɪt/ とずれる点に注意。副詞 infinitely。

出典：本文記事の参考文献を参照／原田英語のマジカ!?サイエンス https://haradaeigo.com/majika/study-math-unsolved-problems/

読む前に予想してみよう！

01未解決問題①：コラッツ予想「どんな数も最後は1になる？」

02未解決問題②：双子素数予想「差が2の素数ペアは無限にある？」

03未解決問題③：ゴールドバッハ予想「偶数は2つの素数の和？」

04未解決問題④⑤：賞金100万ドルのリーマン予想とP≠NP予想

05まとめ

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