細い棒 → 権威の杖 → 権限の及ぶ範囲 → 縁・瀬戸際
verge の元は、ラテン語の virga「細い枝・棒」です。中世のイギリスでは、役人が権威のしるしとして杖を持ちました。王の宮廷のまわりには、宮内の役人の権限が及ぶ範囲がありました。この範囲は within the verge「杖の内側」と呼ばれました。ここから verge は「境界」を指すようになり、さらに「縁・ふち」へ広がります。今の on the verge of A は、「Aの一歩手前で・瀬戸際で」という意味です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：on the verge of A(Aの寸前で)
on the verge of で「崖っぷちの一歩手前」。境界線の杖のイメージ
on the verge of A / -ing（Aの寸前で）が最頻出。on the verge of extinction / tears（絶滅寸前・泣き出しそう）。
受験ミニ情報 on the verge of = on the brink of = on the edge of の言い換えが熟語問題の定番。
言い換え（同じような意味）
ラテン語 virga(細い棒)より → 境界を示す杖 → 境目・縁 verge の元は、ラテン語の virga「細い枝・棒」です。中世のイギリスでは、役人が権威のしるしとして杖を持ちました。
瀬戸際、間際、縁（名詞）。コアイメージは「ぎりぎりの縁・境目」です。
on the verge of で「崖っぷちの一歩手前」。境界線の杖のイメージ 同じ語源の verger・virgule・virga とまとめて覚えると効率的です。
/vɝːdʒ/（ヴァージ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。