外＋最も → いちばん外側の → 最大限の・極度の
utmost の ut は、今の out の古い形です。古英語では utmest と書き、「いちばん外側の」を表しました。語尾の -mest は、もとは most ではありません。古い最上級の語尾が、二重に重なった形です。のちに most と音が似ているため、つづりが most に引き寄せられました。foremost（真っ先の）も同じ成り立ちです。「外側の限界まで」から、「最大限の・極度の」という意味が生まれました。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：of the utmost importance(きわめて重要な)
out の最上級。「限界の外側ギリギリまで」=マックス
do one's utmost（全力を尽くす）が最頻出。of the utmost importance（最も重要な）も長文の定番。
受験ミニ情報 do one's utmost to do = do one's best to do の書きかえが熟語問題に出る。名詞・形容詞の両方で使う。
言い換え（同じような意味）
utmost と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
ut(外へ = out)+most(最上級)→ いちばん外側まで達した → 極限の utmost の ut は、今の out の古い形です。古英語では utmest と書き、「いちばん外側の」を表しました。
最大限の、極度の（形容詞）。コアイメージは「いちばん外側の端まで」です。
out の最上級。「限界の外側ギリギリまで」=マックス 同じ語源の out・outer・utter とまとめて覚えると効率的です。
/ˈʌtmoʊst/（アトモウスト）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。
