何度も打つ → ぐいぐい押す → 押す・せき立てる
push はゲルマン語ではなく、フランス語から来た語です。元はラテン語の pulsare「何度も打つ・押す」でした。これは pellere「押しやる」をくり返しの形にした動詞です。古フランス語で pousser となり、13世紀の終わりごろ英語に入りました。同じ pulsare から、脈を打つ「pulse」も生まれています。心臓が血をドクドク押し出す動きと、ドアを押す動きは、元をたどると同じ言葉です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：push the button(ボタンを押す)
ドアの「PUSH」表示、スマホの「プッシュ通知」=こちらへ押し出してくる知らせ。pulse(脈)も血を押し出す動き。
push A to do で「A に〜するよう強く迫る」。反対は pull（引く）。push for 〜 は「〜を強く求める」。
受験ミニ情報 push A into doing（A に無理に〜させる）は talk A into doing と同じ形。push the button の push は他動詞。
言い換え（同じような意味）
push と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
puls(打つ・押す)→ 繰り返し押す(pulse「脈拍」と同源) push はゲルマン語ではなく、フランス語から来た語です。元はラテン語の pulsare「何度も打つ・押す」でした。
を押す（動詞）。コアイメージは「ぐいっと前へ押し出す」です。
ドアの「PUSH」表示、スマホの「プッシュ通知」=こちらへ押し出してくる知らせ。pulse(脈)も血を押し出す動き。 同じ語源の pulse・impulse・expel とまとめて覚えると効率的です。
/pʊʃ/（プッシュ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。