〜ない＋どちらか → 二つのどちらも〜ない
neither は、古英語の nahwæther から来ています。na は「〜ない」、hwæther は「二つのうちのどちらか」で、今の whether の祖先です。つまり neither は元々「not＋whether」でした。中英語の時代に、either のつづりにひきずられて今の形になったとされます。neither A nor B の nor も、実は同じ語が縮んだ形です。発音は「ニーザー」と「ナイザー」の両方があり、米音では前者が多く使われます。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：neither A nor B(AもBも〜ない)
not+either=「どちらも〜ない」。neither A nor B(AもBも〜ない)の形が試験の定番
neither A nor B（AもBも〜ない）。動詞は原則として B に合わせる。Neither do I.（私もそうではない）も頻出。
受験ミニ情報 Neither of them is ... は単数扱いが原則（口語では複数も）。Me neither. は会話問題の定番。
言い換え（同じような意味）
neither と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
古英語 nahwæther(na 〜ない+hwæther どちらか)から。つづりは either にならって変化した neither は、古英語の nahwæther から来ています。na は「〜ない」、hwæther は「二つのうちのどちらか」で、今の whether の祖先です。
どちらも〜ない（代名詞）。コアイメージは「二つのどちらも〜ない」です。
not+either=「どちらも〜ない」。neither A nor B(AもBも〜ない)の形が試験の定番 同じ語源の either・whether・nor とまとめて覚えると効率的です。
/ˈniːðɚ/（ニーザー）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。