楽しみ → 遊び・競技 → 試合・狩りの獲物
game は古英語 gamen「楽しみ・遊び」の語尾が落ちて短くなった語です。ゲルマン祖語の「人が集まること」にさかのぼるとする説もあります。1300年ごろには、狩りの楽しみから「狩りの獲物」も指すようになりました。今も big game（大きな獲物）や game meat（ジビエ）にその意味が残っています。形容詞の game は「乗り気の」で、I'm game. は「よし、やるよ」です。遊び・試合・獲物と意味は広がりましたが、根にあるのは「楽しみ」1つです。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：play a game(ゲーム・試合をする)
テレビゲームの「ゲーム」そのまま。英語では「試合」の意味でも超頻出
スポーツの「試合」は米 game、英 match が多い。the Olympic Games は複数形で大文字。
受験ミニ情報 形容詞 be game for 〜（〜に乗り気だ）が会話問題に出る。the name of the game（肝心なこと）も慣用句。
言い換え（同じような意味）
古英語gamen(楽しみ・遊び)が短くなった形 game は古英語 gamen「楽しみ・遊び」の語尾が落ちて短くなった語です。ゲルマン祖語の「人が集まること」にさかのぼるとする説もあります。
ゲーム、試合（名詞）。コアイメージは「みんなで楽しむこと」です。
テレビゲームの「ゲーム」そのまま。英語では「試合」の意味でも超頻出 同じ語源の gamble・backgammon・gamer とまとめて覚えると効率的です。
/ɡeɪm/（ゲイム）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。