笛を吹く（とする説）→ からかう → あざける → 平然と無視する
flout は16世紀に現れた語で、語源ははっきりしません。中英語の flouten「笛を吹く」から来たとする説があります。オランダ語の fluiten も「笛を吹く」と「あざける」の両方の意味を持ちます。人をはやし立てる笛から、「からかう」が生まれたという考え方です。今の flout は、法律や規則を「平然と無視する」の意味でよく使います。flaunt（見せびらかす）と取り違えやすく、英語の用法辞典でも注意すべき例として挙げられています。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：flout the rules(規則を公然と破る)
flute(笛)をピーピー吹いて規則をバカにするイメージ。「フラウト=ルールを笑い飛ばす」
flout the rules / the law（規則・法を公然と無視する）の形がほとんど。disobey より強く、わざとの響きがある。
受験ミニ情報 flout（無視する）と flaunt（見せびらかす）の区別は超難関大の定番。defy・disregard の言い換えで出る。
言い換え（同じような意味）
諸説あり:中英語flouten(笛を吹く ← flute)から「笛を吹いて嘲る」に転じたとされる flout は16世紀に現れた語で、語源ははっきりしません。中英語の flouten「笛を吹く」から来たとする説があります。
(規則など)を平然と無視する、あざ笑う（動詞）。コアイメージは「規則を笑いとばして破る」です。
flute(笛)をピーピー吹いて規則をバカにするイメージ。「フラウト=ルールを笑い飛ばす」 同じ語源の flute・flautist・flouter とまとめて覚えると効率的です。
/flaʊt/（フラウト）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。