花が咲く → 咲きほこる → 栄える・繁栄する／振り回す
flourish は、ラテン語の florere「花が咲く」から、古フランス語の florir を通って入りました。語尾の -ish は、フランス語の動詞の活用に出てくる -iss- の名残です。finish や punish と同じ作りです。花が咲きほこる様子から、「栄える・繁栄する」の意味になりました。名詞の flourish には「飾り書き」や「ファンファーレ」の意味もあります。花のように派手に見せる動きだからです。米国のフロリダ州は、スペイン人が復活祭の季節に到着し、「花の祭り」にちなんで名付けたとされます。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：flourish economically(経済的に繁栄する)
flower(花)と同じflor語根。「花が咲き誇る」→栄える。花の女神フローラ、フロリダ州も同語源
flourish＝thrive / prosper（栄える）。the arts flourished（芸術が栄えた）は歴史の長文で頻出。
受験ミニ情報 thrive・prosper との同意語選択が定番。アクセントは第1音節 FLOUR-ish。反意語は decline / wither。
言い換え（同じような意味）
flourish と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
flor(花=flos)+ -ish → 花が咲く→繁栄する flourish は、ラテン語の florere「花が咲く」から、古フランス語の florir を通って入りました。語尾の -ish は、フランス語の動詞の活用に出てくる -iss- の名残です。
繁栄する、栄える（動詞）。コアイメージは「花が咲きほこる」です。
flower(花)と同じflor語根。「花が咲き誇る」→栄える。花の女神フローラ、フロリダ州も同語源 同じ語源の flower・flour・flora とまとめて覚えると効率的です。
/ˈflɝːɪʃ/（フラーリッシュ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。