行う＋性質の → よく効く → 思い切った・抜本的な
drastic は、もとは薬の言葉でした。ギリシャ語の drastikos は「活動的な・効き目の強い」という意味です。dran「行う」から来ていて、drama と同じ仲間です。17世紀末に英語に入ったころは、強く効く下剤などの薬について使われました。体に激しく働きかける、というイメージです。のちに、政策や手段について「思い切った・抜本的な」の意味で使われるようになりました。drastic measures は、強い薬を処方するような荒療治というわけです。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：take drastic measures(思い切った措置を取る)
drama(行われるもの=劇)と同じdra(行う)。行動が激しい=ドラスティックな改革
drastic measures / changes / cuts（思い切った措置・変化・削減）。良い意味より「急で強烈」の響き。
受験ミニ情報 take drastic measures（思い切った手段をとる）が頻出。radical・extreme との同意語選択で出る。
言い換え（同じような意味）
drastic と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
dra(行う ← dran)+stic(形容詞化)→ 実際に行動する力のある → 効果が強烈な、抜本的な drastic は、もとは薬の言葉でした。ギリシャ語の drastikos は「活動的な・効き目の強い」という意味です。
思い切った、抜本的な（形容詞）。コアイメージは「強く効き目を出す」です。
drama(行われるもの=劇)と同じdra(行う)。行動が激しい=ドラスティックな改革 同じ語源の drama・dramatic・dramatist とまとめて覚えると効率的です。
/ˈdræstɪk/（ドラスティック）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。