王の → 王に属する
royal と regal は、どちらもラテン語 regalis「王の」から来ています。regal はラテン語に近い形のまま入りました。一方の royal は、古フランス語で g が消えて roial になった形です。同じ語が二つの道を通って英語に入った「二重語」の例です。スペイン語ではこの語が real になりました。サッカーのレアル・マドリードは「王立マドリード」という意味で、1920年にスペイン国王から「王立」を名乗ることを許されました。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：the royal family(王室)
regal(堂々とした)と同じreg(王)が語源
the royal family は「王室」。royalty は「王族」のほか著作物などの「印税」。
受験ミニ情報 royal の強勢は最初。royalty は「王族」では集合的に、「印税」では royalties と複数形も多い。
言い換え（同じような意味）
royal と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
ラテン語 regalis(王の ← rex「王」) royal と regal は、どちらもラテン語 regalis「王の」から来ています。regal はラテン語に近い形のまま入りました。
王室の、国王の（形容詞）。コアイメージは「王に属する」です。
regal(堂々とした)と同じreg(王)が語源 同じ語源の regal・reign・region とまとめて覚えると効率的です。
/ˈrɔɪəl/（ロイアル）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。