柴・小枝の束 → 毛を束ねた道具 → ブラシでこする
brush は14世紀に古フランス語から入った語です。古フランス語の broce は「やぶ・柴」を指しました。柴の小枝を束ねればこする道具になります。そこからブラシの意味が生まれたと考えられています。英語では今も「やぶ・低木の茂み」の意味が残っています。brushwood は「柴」、アメリカ西部の brush fire は「低木の野火」です。動詞の brush は「ブラシをかける」から「さっと触れる・払いのける」へ広がりました。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：brush my teeth(歯を磨く)
「歯ブラシ(toothbrush)」の brush。名詞「ブラシ」がそのまま動詞「ブラシをかける」になる
brush up (on) 〜（〜を磨き直す）、brush aside（払いのける・無視する）、brush off（すげなく断る）。
受験ミニ情報 brush up on one's English（英語を磨き直す）は熟語問題の頻出。歯を磨くは brush one's teeth。
言い換え（同じような意味）
柴・小枝の束 → 毛を束ねた道具 → ブラシでこする brush は14世紀に古フランス語から入った語です。古フランス語の broce は「やぶ・柴」を指しました。
を(ブラシで)磨く（動詞）。コアイメージは「毛や小枝の束でさっとこする」です。
「歯ブラシ(toothbrush)」の brush。名詞「ブラシ」がそのまま動詞「ブラシをかける」になる 同じ語源の brushwood・toothbrush・paintbrush とまとめて覚えると効率的です。
/brʌʃ/（ブラッシュ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。