どの＋時 → どの時でも → いつでも
anytime は any time を1語にした形で、20世紀にアメリカ英語で広まりました。time の祖先は「区切る」を意味する語とされ、時は「区切られたもの」だったと考えられます。tide（潮）も同じ祖先です。tide は元々「時」の意味で、Christmastide（クリスマスの季節）に残っています。ことわざ Time and tide wait for no man の tide も、元は「時」を表していたとされます。会話の Anytime! は「いつでもどうぞ」の返事です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：call A anytime(いつでもAに電話する)
any(どんな)+time(時)=「どんな時でも」。お礼を言われて Anytime!(いつでもどうぞ)と返す会話表現も便利
Thanks! への返事 Anytime.（いつでもどうぞ）は会話問題に出る。改まった文では at any time を使う。
受験ミニ情報 Anytime you need help, call me. のように接続詞的にも使う（＝ whenever）。
言い換え（同じような意味）
anytime と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
どの＋時 → どの時でも → いつでも anytime は any time を1語にした形で、20世紀にアメリカ英語で広まりました。time の祖先は「区切る」を意味する語とされ、時は「区切られたもの」だったと考えられます。
いつでも（副詞）。コアイメージは「どの時でも」です。
any(どんな)+time(時)=「どんな時でも」。お礼を言われて Anytime!(いつでもどうぞ)と返す会話表現も便利 同じ語源の time・tide・timely とまとめて覚えると効率的です。
/ˈenitaɪm/（エニタイム）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。