平面 → 平らな翼 → 飛行機（airplane の略）
plane は、airplane（イギリスでは aeroplane）を短くした形です。aeroplane は19世紀後半に生まれた語で、最初は空気を受けて機体を持ち上げる「平らな翼の面」を指したとされます。ギリシャ語由来の aero「空気」と、ラテン語 planum「平らな面」の組み合わせです。ライト兄弟の初飛行の数年後、20世紀初めに短い plane が使われ始めました。木の名前 plane（プラタナス）は、まったく別の語です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：by plane(飛行機で)
plan(平ら)が語根。平らな翼で飛ぶ乗り物。「プレーン味(平らな=何も足さない)」も同じ語根
by plane（飛行機で）は無冠詞。take a plane / on a plane（機内で）。同音の plain と区別。
受験ミニ情報 by plane / by train のように交通手段の by の後は無冠詞が原則。plane / plain の同音語問題も定番。
言い換え（同じような意味）
plane と同じ語源の単語です。パーツの意味から推理してみましょう。
airplane の短縮形。plane はラテン語 planus(平らな)が語源で、平らな翼のイメージ plane は、airplane（イギリスでは aeroplane）を短くした形です。aeroplane は19世紀後半に生まれた語で、最初は空気を受けて機体を持ち上げる「平らな翼の面」を指したとされます。
飛行機（名詞）。コアイメージは「平らな翼で飛ぶ」です。
plan(平ら)が語根。平らな翼で飛ぶ乗り物。「プレーン味(平らな=何も足さない)」も同じ語根 同じ語源の plain・plan・planar とまとめて覚えると効率的です。
/pleɪn/（プレイン）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。