ミツバチの巣箱 → 人が群がる所 → 活気ある場所
hive は、古英語の hȳf「ミツバチの巣箱」から来ています。hive は自然の巣ではなく、人が用意した巣箱を指すのが元の使い方でした。昔のヨーロッパでは、わらを編んでドーム形の巣箱を作りました。ミツバチがせわしなく出入りする様子から、a hive of activity は「活気にあふれた場所」の意味になります。群れが新しい巣へ分かれる様子から、hive off は「切り離して独立させる」という意味でも使われます。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：a bee hive(ミツバチの巣箱)
beehive(ミツバチの巣)の形でよく使われる。busy as a bee(忙しく働くミツバチ)のイメージとセットで
a hive of activity／industry（活気あふれる場所）が決まり文句。
受験ミニ情報 a hive of activity は長文で「にぎわう場所」の比喩として出る。hives（じんましん）とは無関係。
言い換え（同じような意味）
ミツバチの巣箱 → 人が群がる所 → 活気ある場所 hive は、古英語の hȳf「ミツバチの巣箱」から来ています。hive は自然の巣ではなく、人が用意した巣箱を指すのが元の使い方でした。
ミツバチの巣箱（名詞）。コアイメージは「ミツバチが集まる住みか」です。
beehive(ミツバチの巣)の形でよく使われる。busy as a bee(忙しく働くミツバチ)のイメージとセットで 同じ語源の beehive・hive off・hive mind とまとめて覚えると効率的です。
/haɪv/（ハイブ）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。