顔 → 表情・機嫌 → 元気・声援
cheer は、もとは「顔」を表す語でした。後期ラテン語の cara「顔」が古フランス語で chiere となり、13世紀ごろ英語に入ります。顔から「表情」、表情から「機嫌」へと意味が移りました。good cheer は「上機嫌」です。やがて人を明るい顔にさせる「励まし」、さらに「歓声・声援」の意味が生まれました。乾杯の Cheers! も同じ語です。ラテン語の cara は、ギリシャ語 kara「頭」から来たとする説があります。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：cheer for the team(チームを応援する)
「チアリーダー(cheerleader)」は応援を先導する人。cheer up で「元気を出す」
cheer up は「元気を出す・元気づける」。cheer for A（Aを応援する）。Cheer up! は落ちこんだ人への声かけ。
受験ミニ情報 cheer up は自動詞でも他動詞でも使う。目的語が代名詞なら cheer him up の語順になる。
言い換え（同じような意味）
諸説あり:古フランス語 chiere(顔)→表情→機嫌→元気、と意味が変化したとされる cheer は、もとは「顔」を表す語でした。後期ラテン語の cara「顔」が古フランス語で chiere となり、13世紀ごろ英語に入ります。
を応援する、を元気づける（動詞）。コアイメージは「顔つき → 明るい気分」です。
「チアリーダー(cheerleader)」は応援を先導する人。cheer up で「元気を出す」 同じ語源の cheerful・cheery・cheers とまとめて覚えると効率的です。
/tʃɪr/（チア）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。