大口 → 自慢する → （誇れるものを）持っている
boast は14世紀ごろ現れた語で、どこから来たかは分かっていません。ほかのゲルマン語にも、はっきりした仲間が見つかりません。最初は名詞で「大口、見せびらかし」の意味でした。同じ「自慢する」の brag も、ほぼ同じころに現れた由来不明の語です。boast はやがて、人ではなく町や建物も主語にとるようになりました。The town boasts a fine museum. は「町にはりっぱな博物館がある」という意味です。
（語源の出典・確認先：Online Etymology Dictionary ／ Merriam-Webster ／ Wiktionary 参考文献の一覧）
よく使う形：boast about something(〜を自慢する)
「ボースト」と胸を張って大声で自慢する様子を連想
boast of/about 〜、boast that 〜 で「〜を自慢する」。物が主語なら「（自慢の）〜がある」。
受験ミニ情報 物主語の boast＝have・possess の言い換えが長文で狙われる。be proud of との書き換えも。
言い換え（同じような意味）
語源不詳。中英語 bost(自慢)に由来 boast は14世紀ごろ現れた語で、どこから来たかは分かっていません。ほかのゲルマン語にも、はっきりした仲間が見つかりません。
を自慢する、誇る（動詞）。コアイメージは「胸を張って大口をたたく」です。
「ボースト」と胸を張って大声で自慢する様子を連想 同じ語源の boastful・boaster・boasting とまとめて覚えると効率的です。
/boʊst/（ボースト）。このページの「発音」ボタンで音声を聞けます。