誕生日が自分と同じ人がいる確率を50%にするには、自分以外に253人が必要
23人いれば、誕生日が同じ2人がいる確率は50%超
この判定の対象「23人いれば、誕生日が同じ2人がいる確率は50%を超える」
もくじ
クラスに23人いるとします。この23人の中に、誕生日が同じ2人がいる確率は、どれくらいでしょうか。
答えは約50.7%です。半分より少し高い確率で、誕生日が同じ2人が見つかります。1年は365日もあるのに、たった23人で半分を超えるのです。
では、質問を少し変えます。23人のクラスで、自分と同じ誕生日の人がいる確率は、どれくらいでしょうか。
こちらの答えは、約5.9%です。自分と同じ誕生日の人がいる確率を50%にするには、自分以外に253人が必要です。
この記事では、まず、23人で約50.7%になる計算を1歩ずつ確かめます。次に、2つの質問の答えがこんなに違う理由を説明します。最後に、統計学者が「偶然の一致」をどう考えたかを紹介します。
0123人の誕生日が全員違う確率は、約49.3%しかない
計算の前に、前提を3つ決めます。
- 1年を365日とします（2月29日は数えません）。
- どの日に生まれる確率も同じだとします。
- 1人1人の誕生日は、ほかの人と関係なく決まるとします（双子などはいないとします）。
「誰か2人が同じ」確率を直接求めるのは大変です。同じ2人が1組の場合も、2組の場合もあるからです。そこで、逆の「23人全員の誕生日が違う」確率を先に求めます。それを100%から引けば、答えが出ます。
1人目の誕生日は、何日でもかまいません。2人目が1人目と違う日に生まれる確率は、365日のうち364日なので、364/365です。3人目が、前の2人と違う日に生まれる確率は、363/365です。
これを23人目まで続けます。23人目が、前の22人と違う日に生まれる確率は、343/365です。
全員が違う確率は、364/365から343/365までの22個の分数を、全部かけた数です。計算すると、約0.493になります。つまり、23人全員の誕生日が違う確率は、約49.3%です。
だから、誕生日が同じ2人がいる確率は、100%から49.3%を引いて、約50.7%になります。
22人で同じ計算をすると、約47.6%で、50%に届きません。23人は、この確率が初めて50%を超える人数なのです。
0223人の中には、2人の組み合わせが253組もある
23人という少ない人数で確率が高くなるのは、2人の組み合わせの数が多いからです。
23人から2人を選ぶ組み合わせは、23×22÷2で、253組あります。誕生日が同じかどうかは、この253組のどれで起きてもかまいません。
1つの組の2人の誕生日が同じになる確率は、365分の1です。とても小さな確率です。でも、253組もあれば、そのどこかに誕生日が同じ組が1組くらいあっても不思議ではありません。
人数が増えると、組み合わせの数は、人数よりずっと速く増えます。30人なら435組、40人なら780組です。確率も、30人で約70.6%、40人で約89.1%と上がっていきます。57人では約99.0%になります。
03自分と同じ誕生日の人がいる確率を50%にするには、自分以外に253人が必要
では、「自分と同じ誕生日の人」を探す場合はどうでしょう。
このとき、数えてよいのは、自分を入れた組だけです。23人のクラスなら、自分と、ほかの22人の組なので、22組しかありません。253組のうちの22組です。
ほかの1人が、自分と違う誕生日である確率は、364/365です。22人全員が自分と違う確率は、364/365を22回かけた数で、約0.941です。だから、自分と同じ誕生日の人がいる確率は、約5.9%です。
この確率を50%にするには、364/365を何回かけると半分になるかを調べます。計算すると、252回では少し足りず、253回で初めて半分を下回ります。つまり、自分以外に253人いれば、自分と同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えます。
04誕生日が「1日違い」までなら、14人で50%を超える
1989年、ハーバード大学の数学者パーシ・ディアコニスと統計学者フレデリック・モステラー（Persi Diaconis & Frederick Mosteller）は、「偶然の一致」を調べる方法についての論文を発表しました。偶然の一致とは、原因のつながりが見えないのに、意味がありそうに重なって起きる意外な出来事のことです。2人はこの論文で、誕生日の問題を、いろいろな形に変えて紹介しています。
1つ目は、「誕生日が同じか、1日違いの2人がいる」確率です。論文によると、1970年にエイブラムソンとモーザー（Abramson & Moser）が、14人で50%を超えることを示しました。この記事でも計算して確かめました。12月31日と1月1日も1日違いと数えると、14人で約53.7%、13人では約48.3%です。
2つ目は、「3人以上の誕生日が同じ」確率です。論文によると、1966年にマッキニー（McKinney）が、50%を超えるには88人が必要だと計算しました。この記事の計算でも、88人で約51.1%、87人では約49.9%でした。論文には、4人以上が同じ誕生日になる確率が50%を超えるには187人が必要だ、とも書かれています。
さらに、論文にのっている研究者ブルース・レビン（Bruce Levin）の計算では、1000人いれば、9人以上が同じ誕生日である確率が50%を超えます。
05生まれる日にかたよりがあっても、23人で50%を超えることは変わらない
ここまでの計算は、「どの日に生まれる確率も同じ」という前提を使いました。でも、実際の出生の記録を見ると、生まれる日には季節によるかたよりがあります。
1992年、トーマス・ナニコーベン（Thomas Nunnikhoven）は、アメリカの実際の出生の数を使って計算しました。アメリカでは、1日あたりの出生の数は季節によって変わり、平均より5%少ない時期から、7%多い時期までありました。それでも、どの日も同じ確率とした計算の答えとの差は、小さいと分かりました。
それより前の1977年、マンフォード（A. G. Munford）は、もっと広く当てはまることを示しています。生まれる日のかたよりがどんな形でも、23人いれば、誕生日が同じ2人がいる確率は50%を超えるのです。
深掘り講義
ここから先は、もう一段深く。しくみ・史料・論争まで踏み込みます。
ディアコニスらが挙げる、誕生日の問題の最も古い記録は1939年の論文
ディアコニスとモステラーの論文は、誕生日の問題の最も古い記録として、リヒャルト・フォン・ミーゼス（Richard von Mises）の1939年の論文を挙げています。ただし「知られている限りでは」という言い方です。この問題は、英語で「誕生日問題（birthday problem）」と呼ばれます。
「誕生日のパラドックス（birthday paradox）」という呼び名もあります。パラドックスとは、正しいのに、直感ではおかしく思える話のことです。暗号の事典には、この名前の項目があります。その項目は、365日に比べて23人は少なすぎると感じられるので、パラドックスと呼ばれる、と説明しています。
「23人」と「自分以外に253人」は、どちらも「2人の組が約253組あれば半々」という同じ考えから出てくる
253という数が2回出てきました。23人の組み合わせの数と、自分と同じ誕生日の人を探すのに必要な人数です。これは偶然ではありません。
自分と同じ誕生日の人を探す場合、364/365を何回かけると半分になるかを調べました。364/365は1より少しだけ小さい数です。こういう数をかけ続けて半分になる回数は、だいたい「365×0.693」回です。0.693は決まった数で、数学では「2の自然対数」と呼ばれます。365×0.693を計算すると、約253です。
23人の場合も、同じ考え方ができます。253組それぞれについて、2人の誕生日が違う確率は364/365です。もし253組が互いに関係なく決まるなら、どの組も一致しない確率は、364/365を253回かけた数で、約0.4995です。
ただし、正確な値は約0.493で、少しずれます。組どうしが関係しているからです。たとえば、AさんとBさんが同じ誕生日で、BさんとCさんも同じなら、AさんとCさんも必ず同じです。
まとめると、どちらの問題も「一致するかもしれない組が、約253組あれば半々」という同じ答えになります。違うのは、253組をそろえるのに必要な人数です。自分を入れた組だけなら253人が必要です。誰と誰でもよいなら、23人で253組になります。
一致が半々で起きる人数は、区分の数の「平方根の約1.2倍」
ディアコニスとモステラーは、この考えを、誕生日以外にも使える形にしました。1人1人が選ぶ「区分」（誕生日なら日付）の数を c とします。誕生日なら c は365です。1人1人がでたらめに区分を選ぶとき、どれか2人が同じ区分になる確率が50%になる人数は、およそ「1.2×√c」です。√c は、2回かけると c になる数です。
365日なら、√365は約19.1で、その1.2倍は約22.9です。これを切り上げると、23人という答えになります。
この式を使うと、ほかの場面も計算できます。たとえば、1万通りの番号から、1人1つずつでたらめに選ぶとします。√10000は100なので、式では約120人です。正確に計算すると、119人で、同じ番号の2人がいる確率が50%を超えます。区分が1万もあるのに、120人ほどで半々になるのです。
宝くじに2回当たった女性は、「17兆分の1」の出来事ではなかった
ディアコニスとモステラーは、確率の数字が「的外れな質問への答え」になっていた例を紹介しています。ニュージャージー州の宝くじに2回当たった女性を、ニューヨーク・タイムズ紙が1面で「17兆分の1」と報じた話です。
17兆分の1は、2回のくじを1枚ずつ買って、両方当たる確率でした。でも、その女性は、くじを何枚も、何度も買っていました。
大事なのは、「アメリカでくじを買う大勢の人の誰かが、一生のうちに2回当たる確率」です。パデュー大学のスティーブン・サミュエルズとジョージ・マッケイブ（Stephen Samuels & George McCabe）が計算すると、7年のうちにアメリカのどこかで2回当たる人が出る確率は、50%より高くなりました。誕生日の問題で「自分」ではなく「誰か」を考えたのと同じ形です。
偶然の一致は、4つの考え方でかなり説明できる
論文は、原因の見当たらない偶然の一致の多くを、4つの考え方で説明しています。
- 隠れた原因：本当は、気づいていない原因がある。
- 心理：人は、目立つ出来事だけを覚えていて、何も起きなかった日のことは忘れる。
- 「一致」と数えるものが多い：少し違うものまで「同じ」と数えると、一致は増える。誕生日なら「1日違い」も一致と数えると、23人が14人に減る。
- 本当に大きな数の法則：数が十分に多ければ、どんなにありえないことも起こりやすくなる。1日に100万人に1人に起きる偶然でも、論文が書かれたころのアメリカの人口にあたる2億5000万人いれば、1日に250回、1年で10万回近く起きる。
06まとめ
23人の中に誕生日が同じ2人がいる確率は、約50.7%です。23人の中には、2人の組み合わせが253組もあるからです。
一方、自分と同じ誕生日の人がいる確率は、23人のクラスでは約5.9%しかありません。50%にするには、自分以外に253人が必要です。
「誰か2人が同じ」と「自分と同じ」は、似ているようで、まったく違う質問です。次に誕生日が同じ人に出会ったら、「誰か2人なら23人で半々なんだよ」と話してみてください。
人に話すなら、こう言おう
23人のクラスなら、誕生日が同じ2人がいる確率は50%を超えるんだって。でも、自分と同じ誕生日の人がいる確率は6%くらい。自分と同じ人を50%で見つけるには、253人も必要らしいよ。
英語で読む
Twenty-Three People and One Birthday
英文をタップすると、その文の訳が出ます。
Think of a class with 23 students.23人の生徒がいるクラスを思いうかべてください。 What is the chance that two of them have the same birthday?その中の2人の誕生日が同じである確率は、どれくらいでしょうか。 The answer is about 50.7 percent.答えは約50.7%です。 But a year has 365 days!でも、1年は365日もあるのです。
First, we find the chance that all 23 birthdays are different.まず、23人の誕生日が全員違う確率を求めます。 The second person must miss one day, so the chance is 364 out of 365.2人目は1つの日をさけなければならないので、確率は365分の364です。 We go on like this to the 23rd person and multiply the numbers.23人目まで同じように続けて、それらの数をかけます。 The result is about 49.3 percent, so the answer is about 50.7 percent.結果は約49.3%なので、答えは約50.7%になります。
Why is the number so high?なぜ、こんなに高い数になるのでしょうか。 With 23 people, there are 253 different pairs.23人いると、2人の組は253組あります。 Each pair has a small chance of a shared birthday, but 253 tries add up.1組ごとに誕生日が同じになる確率は小さくても、253回試せば積み重なります。
Now ask a different question.では、別の質問をしてみましょう。 What is the chance that someone in the class has the same birthday as you?クラスの誰かが、あなたと同じ誕生日である確率はどれくらいでしょうか。 This time, only the 22 pairs with you count.今度は、あなたが入った22組だけを数えます。 The chance is only about 5.9 percent.確率は約5.9%しかありません。 To reach 50 percent, you need 253 other people.50%にするには、あなた以外に253人が必要です。
In 1989, a mathematician and a statistician, Persi Diaconis and Frederick Mosteller, wrote about coincidences.1989年、数学者のパーシ・ディアコニスと統計学者のフレデリック・モステラーが、偶然の一致について書きました。 A coincidence is a surprising event that seems connected to another event.偶然の一致とは、ほかの出来事とつながっているように見える、意外な出来事のことです。 They wrote that 14 people give an even chance of two birthdays within one day.2人は、14人いれば、誕生日が1日以内の2人がいる確率が半々になると書きました。 Real birthdays are not spread evenly over the year.実際の誕生日は、1年の中に均等に散らばってはいません。 But 23 people still give a better than even chance.それでも、23人いれば、確率は半分より高くなります。 So a shared birthday in a class of 23 is not strange.だから、23人のクラスで誕生日が同じ2人がいても、おかしくはありません。
4択問題 Reading Quiz
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Q1What is this story mainly about?
この話は主に何についてのものですか。
正解：B Why a shared birthday is common in a group of 23
第1段落で23人の中に誕生日が同じ2人がいる確率が約50.7%だと述べ、第2〜3段落でその理由を説明しているので正解はB。Cの「1年は365日」は話の一部にすぎない。
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Q2How many pairs are there in a group of 23 people?
23人の集まりには、2人の組がいくつありますか。
正解：C 253 pairs
第3段落2文目に「23人いると、2人の組は253組ある」とあるので正解はC。Aの22組は、自分が入った組の数（第4段落）。
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Q3Why is the chance small that someone in a class of 23 shares your birthday?
23人のクラスで、誰かがあなたと同じ誕生日である確率が小さいのはなぜですか。
正解：A Only 22 pairs include you.
第4段落3文目に「あなたが入った22組だけを数える」とあるので正解はA。Cの253は組の数や必要な人数で、クラスの人数ではない。
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Q4In paragraph 5, the word "coincidences" is closest in meaning to
第5段落の coincidences という語に最も意味が近いのはどれですか。
正解：D surprising events that seem connected
第5段落2文目で、coincidence を「ほかの出来事とつながっているように見える意外な出来事」と説明しているので正解はD。Cの誕生日会は本文に出てこない。
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Q5Which is true about real birthdays?
実際の誕生日について、正しいのはどれですか。
正解：B Even with real birthdays, 23 people give a better than even chance.
第5段落4〜5文目に「実際の誕生日は均等ではないが、それでも23人いれば確率は半分より高い」とあるので正解はB。Aは4文目と逆の内容。
重要語 Key Words（タップで裏返る）
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chance名詞確率、見込み
There is a good chance of rain tomorrow.
明日は雨が降る見込みが高い。
💡 the chance of 〜 で「〜の確率」。a better than even chance は「半分より高い確率」。
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birthday名詞誕生日
My sister and I have the same birthday.
姉と私は誕生日が同じだ。
💡 share a birthday で「誕生日が同じである」。
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pair名詞組、ペア
The students worked in pairs.
生徒たちは2人1組で作業した。
💡 in pairs で「2人1組で」。a pair of shoes は「靴1足」。
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multiply動詞かける、かけ算をする
If you multiply 3 by 4, you get 12.
3に4をかけると12になる。
💡 multiply A by B で「AにBをかける」。名詞は multiplication。
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share動詞共有する、同じものを持つ
We share a room with our brother.
私たちは兄と部屋を共有している。
💡 share A with B で「AをBと分け合う」。
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statistician名詞統計学者
The statistician studied the numbers for many years.
その統計学者は何年もその数字を研究した。
💡 statistics（統計学）＋ -ian（〜する人）。
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coincidence名詞偶然の一致
What a coincidence to meet you here!
ここであなたに会うなんて、なんて偶然でしょう。
💡 by coincidence で「偶然に」。
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evenly副詞均等に、むらなく
Spread the butter evenly on the bread.
バターをパンにむらなくぬってください。
💡 形容詞 even（平らな、等しい）＋ -ly。an even chance は「五分五分」。
SOURCES出典・ウラ取り
この記事の事実は、次の資料を実際に開いて確認しています（確認した事実 36件）。
- Diaconis, P. & Mosteller, F. (1989) Methods for Studying Coincidences, Journal of the American Statistical Association 84(408): 853-861doi.org
- Munford, A. G. (1977) A Note on the Uniformity Assumption in the Birthday Problem, The American Statistician 31(3): 119doi.org
- Nunnikhoven, T. S. (1992) A Birthday Problem Solution for Nonuniform Birth Frequencies, The American Statistician 46(4): 270-274doi.org
- Lenstra, A. K. (2011) Birthday Paradox, Encyclopedia of Cryptography and Security (Springer): 147-148doi.org
公式ページで見てみよう
- Methods for Studying Coincidences（カリフォルニア大学バークレー校の講義資料にある全文PDF）stat.berkeley.edu
文章はすべて資料をもとに独自の言葉で書いています。画像はオリジナルのイメージです。誤りにお気づきの方は訂正窓口へ。
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No.135ウソFALSEくしゃみの速さは「新幹線なみ」ではなかった
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シリーパテは、ゴムの代わりになれなかった失敗作。
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