Because it was ～, … ⇔ 独立分詞構文 It being ～, …

副詞節の主語（it）と主節の主語（the shop）が違うときは、主語を残したまま分詞にする（独立分詞構文）。

• Because it was Sunday, the shop was closed.
  日曜日だったので、その店は閉まっていた。
• It being Sunday, the shop was closed.
  日曜日だったので、その店は閉まっていた。
• The shop was closed because it was Sunday.
  その店は日曜日だったので閉まっていた。

Weather permitting（天気が良ければ）、All things considered（すべてを考慮すると）はこの独立分詞構文が慣用句化したもの。Generally speaking（一般的に言えば）は意味上の主語（we など）を示さない慣用的な分詞構文。硬い書き言葉の響きがあり、会話では because 節が普通。